마트 홈런볼과 편의점 홈런볼의 독립표본 t검정

In [28]:

#티스토리 윈도우 사이즈 맞추기
from IPython.core.display import display, HTML
display(HTML("<style>.container { width:90% !important; }</style>"))

 

 

In [29]:

import scipy as sp
import numpy as np
from scipy import stats

 

1. 마트 홈런볼¶

 

1-1. 데이터 수집¶

In [30]:

Mart = [1.4, 1.7, 1.5, 1.6, 1.7, 1.2, 1.7, 1.5, 1.6, 1.6,
         2.0, 1.8, 1.9, 1.7, 1.6, 1.8, 1.8, 1.6, 1.3, 1.2,
         1.5, 1.7, 1.7, 2.0, 1.6]

 

1-2. 데이터 평균¶

In [31]:

Mart_mu = np.mean(Mart)
Mart_mu

Out[31]:

1.6280000000000001

 

1-3. 데이터 샘플수¶

In [32]:

n_Mart = len(Mart)

 

1-4. 총 중량¶

In [33]:

np.sum(Mart)

Out[33]:

40.7

 

1-5 히스토그램¶

In [34]:

import matplotlib.pyplot as plt
plt.hist(Mart, alpha=0.5)

Out[34]:

(array([2., 1., 1., 3., 0., 6., 6., 3., 1., 2.]),
 array([1.2 , 1.28, 1.36, 1.44, 1.52, 1.6 , 1.68, 1.76, 1.84, 1.92, 2.  ]),
 <BarContainer object of 10 artists>)

 

 

1-6 표준편차¶

In [35]:

# 표준편차
Mart_sigma  = round(np.std(Mart, ddof = 1),3)
Mart_sigma

Out[35]:

0.209

 

2. 편의점 홈런볼¶

 

1-1. 데이터 수집¶

In [36]:

Cstore = [1.5, 1.8 ,1.5, 1.7, 1.8, 1.4, 1.3, 1.9, 2.0, 1.7, 
        1.7, 1.6, 1.5, 1.9, 2.0, 1.9, 2.1, 1.4, 1.7, 2.1,
        1.6, 0.9, 1.9, 2.0, 2.0, 1.9]

 

1-2. 데이터 평균¶

In [37]:

Cstore_mu = np.mean(Cstore)
Cstore_mu

Out[37]:

1.7230769230769232

 

1-3. 데이터 샘플수¶

In [38]:

n_Cstore = len(Cstore)

 

1-4. 총 중량¶

In [39]:

np.sum(Cstore)

Out[39]:

44.800000000000004

 

1-5 히스토그램¶

In [40]:

import matplotlib.pyplot as plt
# plt.hist(Mart, range=(0.9, 2.1), bins=12, alpha=0.5)
plt.hist(Cstore, alpha=0.5)

Out[40]:

(array([1., 0., 0., 1., 2., 5., 4., 2., 5., 6.]),
 array([0.9 , 1.02, 1.14, 1.26, 1.38, 1.5 , 1.62, 1.74, 1.86, 1.98, 2.1 ]),
 <BarContainer object of 10 artists>)

 

 

1-6. 표준편차¶

In [41]:

# 표준편차
Cstore_sigma  = round(np.std(Cstore, ddof = 1),3)
Cstore_sigma

Out[41]:

0.283

 

3. 마트와 편의점 히스토그램 분포도¶

In [42]:

plt.hist(Cstore, alpha=0.5) # 파랑 : 편의점
plt.hist(Mart, alpha=0.5) # 주황 : 마트

Out[42]:

(array([2., 1., 1., 3., 0., 6., 6., 3., 1., 2.]),
 array([1.2 , 1.28, 1.36, 1.44, 1.52, 1.6 , 1.68, 1.76, 1.84, 1.92, 2.  ]),
 <BarContainer object of 10 artists>)

 

 

4. 홈런볼이 어디서 왔을까?¶

 

두 집단의 평균의 차이가 우연에 의한 것인지 알아보는 방법입니다.
"마트와 편의점의 홈런볼 1알의 중량차이가 있다"라는 것을 알아보려면 매우 유사한 방법을 씁니다.

우리가 얻어낸 차이가 우연인지 아닌지 알기 위해서는

① 측정에 사용된 마트(25알)와 편의점(26알) 홈런볼 각각 알 개수,
② 두 곳의 평균 중량 차이(1.72 - 1.62 = 0.1 g),
③ 그리고 마트와 편의점의 1알 중량 데이터가 흩어진 정도가 필요합니다.

 

$t값 = \frac{\overline{평균_{편의점}} - \overline{평균_{마트}}}{\frac{{표준편차_{편의점}}}{\sqrt{알 개수_{편의점}}}+{\frac{{표준편차_{마트}}}{\sqrt{알 개수_{마트}}}}}$

</h3>

 

이것을 일반화하여 써보면 아래와 같습니다.

 

$t = \frac{\overline{X_{a}} - \overline{X_{b}}}{\frac{{S_{a}}}{\sqrt{n_{a}}}+{\frac{{S_{b}}}{\sqrt{n_{b}}}}}$

</h3>

$\overline{X_{a}} : a집단의 평균, \overline{X_{b}} : b집단의 평균, {S_{a}} : a집단의 표준편차 {S_{b}} : b집단의 표준편차, {n_{a}} : a집단의 샘플수 {n_{b}} : b집단의 샘플수 $

 

여러분들은 지금까지 그 어려운 t검정을 하신 겁니다.

 

보다 구체적으로 마트와 편의점의 홈런볼 차이를 검증하는 것은 서로 다른 두 집단의 차이를 검증하는 방법인 독립표본 t검정입니다.

 

t 검정¶

 

t검정 종류

1. 대응표본 t검정(영어로는 Paired t-Test) : 사전 vs 사후 비교
   동일한 대상에게 실험을 하고, 실험 전과 후에 결과가 차이가 있는지를 알아보는 방법

1. 독립표본 t검정(영어로는 Independent t-Test)
   : 서로 다른 두 집단 비교, 서로 다른 두 집단에서 뽑은 표본 간에 나타난 차이가 의미가 있는지를 알아보는 방법

In [45]:

# t값
t_value = (Cstore_mu-Mart_mu) / (sigma_Cstore/np.sqrt(n_Cstore)+sigma_Mart/np.sqrt(n_Mart))
t_value

Out[45]:

3.8821328495139538

 

독립표본 t검정은 t test independent 함수로 간단히 계산 가능합니다.¶

In [47]:

stats.ttest_ind(Mart, Cstore, equal_var = False)

Out[47]:

Ttest_indResult(statistic=-1.3670503390114912, pvalue=0.17825468212021833)

 

p값이 0.17<0.05 이라는 것은 두 집단간의 평균 차이가 유의미 하지 않다는 것을 의미합니다.

 

결과적으로 마트 홈런볼과 편의점 홈런볼 1알의 무게는 차이가 없다는 결론입니다.¶

 

참고인자 equal_var = False 인자값¶

t검정을 하기에 앞서 등분산성을 검정해야 하는데,
equal_var = False 인자값은 분산이 다르다고 가정하고 welch 검정을 사용하겠다는 의미입니다.

In [45]:

##### 마트와 편의점 홈런볼 분포도 

In [22]:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

np.random.seed(0)

plt.style.use('default')
plt.rcParams['figure.figsize'] = (6, 3)
plt.rcParams['font.size'] = 12
plt.rcParams['lines.linewidth'] = 5
plt.rc('font',family='NanumGothic')

mu1, sigma1 = Mart_mu, Mart_sigma
mu2, sigma2 = Cstore_mu, Cstore_sigma

x = np.linspace(0.9, 2.5, 1000)
y1 = (1 / np.sqrt(2 * np.pi * sigma1**2)) * np.exp(-(x-mu1)**2 / (2 * sigma1**2))
y2 = (1 / np.sqrt(2 * np.pi * sigma2**2)) * np.exp(-(x-mu2)**2 / (2 * sigma2**2))
# y3 = (1 / np.sqrt(2 * np.pi * sigma3**2)) * np.exp(-(x-mu3)**2 / (2 * sigma3**2))
# y1 = stats.t(3).pdf(t)
# y1 = stats.t(3).pdf(t)

plt.plot(x, y2, alpha=0.7, label='편의점')
plt.plot(x, y1, alpha=0.7, label='마트')
# plt.plot(x, y3, alpha=0.7, label=r'PDF of N(3.0, $2.0^2$)')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('f(x)')
plt.legend()
#bbox_to_anchor=(1.0, -0.2))
plt.show()

 

In [24]:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

plt.style.use('default')
plt.rcParams['figure.figsize'] = (6, 3)
plt.rcParams['font.size'] = 12
plt.rcParams['lines.linewidth'] = 5
plt.rc('font',family='NanumGothic')

mu1, sigma1 = Mart_mu, Mart_sigma
mu2, sigma2 = Cstore_mu, Cstore_sigma

x = np.linspace(0.9, 2.5, 1000)
y1 = (1 / np.sqrt(2 * np.pi * sigma1**2)) * np.exp(-(x-mu1)**2 / (2 * sigma1**2))
y2 = (1 / np.sqrt(2 * np.pi * sigma2**2)) * np.exp(-(x-mu2)**2 / (2 * sigma2**2))

y3 = np.random.normal(mu1, sigma1, 10000)
y4 = np.random.normal(mu2, sigma2, 10000)

plt.plot(x, y2, alpha=0.7, label='편의점')
plt.plot(x, y1, alpha=0.7, label='마트')

plt.hist(y4, bins=1000, density=True, histtype='stepfilled', color='C0', alpha=0.5)
plt.hist(y3, bins=1000, density=True, histtype='stepfilled', color='C1', alpha=0.5)

plt.xlabel('홈런볼 1알 중량')
plt.ylabel('나타날 확률')

plt.xlim(0.5, 3.0)
plt.legend()

plt.show()

 

In [43]:

# 분산 계산
# ddof는 자유도. ddof =0은 샘플수로 나눠주는 것. ddof=1은 샘플수-1 로 나눠주는 것

 

ddof 란?¶

ddof인수란 표본표준편차 계산에 사용되는 분모인 n-ddof 값을 말합니다.
이는 자유도 라고 하며 모표준편차와 표본 표준편차에서 반드시 발생하는 괴리율을 줄이기 위해 사용됩니다.

numpy.std의 ddof 는 n에서 몇을 뺀 값으로 나눌 것인가를 의미한다 (기본값 = 0, ddof =1은 (n-1)로 나눌 것을 의미함